【附源码】一看就懂的感知机算法PLA

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什么是感知机「Perceptron」

PLA全称是Perceptron Linear Algorithm，即线性感知机算法，属于一种最简单的感知机（Perceptron）模型。

感知机模型是机器学习二分类问题中的一个非常简单的模型。它的基本结构如下图所示：

其中，x_i 是输入， w_i 表示权重系数， b 表示偏移常数。感知机的线性输出为：

为了简化计算，通常我们将 b 作为权重系数的一个维度，即 w₀ 。同时，将输入 x 扩展一个维度，为1。这样，上式简化为：

scores 是感知机的输出，接下来就要对 scores 进行判断：

• 若 scores≥0 ，则 y_pred=1 「正类」

• 若 scores<0 ，则 y_pred=−1 「负类」

以上就是线性感知机模型的基本概念，简单来说，它由线性得分计算和阈值比较两个过程组成，最后根据比较结果判断样本属于正类还是负类。

PLA理论解释

对于二分类问题，可以使用感知机模型来解决。PLA的基本原理就是逐点修正，首先在超平面上随意取一条分类面，统计分类错误的点；然后随机对某个错误点就行修正，即变换直线的位置，使该错误点得以修正；接着再随机选择一个错误点进行纠正，分类面不断变化，直到所有的点都完全分类正确了，就得到了最佳的分类面。

利用二维平面例子来进行解释，第一种情况是错误地将正样本「y=+1」分类为负样本「y=-1」。此时，wx<0，即w与x的夹角大于90度，分类线 l 的两侧。修正的方法是让夹角变小，修正w值，使二者位于直线同侧：

修正过程示意图如下所示：

第二种情况是错误地将负样本「y=-1」分类为正样本「y=+1」。此时， wx>0 ，即 w 与 x 的夹角小于90度，分类线 l 的同一侧。修正的方法是让夹角变大，修正 w 值，使二者位于直线两侧：

修正过程示意图如下所示：

经过两种情况分析，我们发现PLA每次 w 的更新表达式都是一样的： w:=w+yx 。掌握了每次 w 的优化表达式，那么PLA就能不断地将所有错误的分类样本纠正并分类正确。

数据准备

该数据集包含了100个样本，正负样本各50，特征维度为2。

import numpy as np
import pandas as pd

data = pd.read_csv('./data/data1.csv', header=None)
# 样本输入，维度（100，2）
X = data.iloc[:,:2].values
# 样本输出，维度（100，）
y = data.iloc[:,2].values

下面我们在二维平面上绘出正负样本的分布情况。

import matplotlib.pyplot as plt

plt.scatter(X[:50, 0], X[:50, 1], color='blue', marker='o', label='Positive')
plt.scatter(X[50:, 0], X[50:, 1], color='red', marker='x', label='Negative')
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.legend(loc = 'upper left')
plt.title('Original Data')
plt.show()

PLA算法

首先分别对两个特征进行归一化处理，即：

其中， μ 是特征均值， σ 是特征标准差。

# 均值
u = np.mean(X, axis=0)
# 方差
v = np.std(X, axis=0)

X = (X - u) / v

# 作图
plt.scatter(X[:50, 0], X[:50, 1], color='blue', marker='o', label='Positive')
plt.scatter(X[50:, 0], X[50:, 1], color='red', marker='x', label='Negative')
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.legend(loc = 'upper left')
plt.title('Normalization data')
plt.show()

接下来对预测直线进行初始化，包括权重 w 初始化：

# X加上偏置项
X = np.hstack((np.ones((X.shape[0],1)), X))
# 权重初始化
w = np.random.randn(3,1)

接下来，计算scores，得分函数与阈值0做比较，大于零则 ŷ =1 ，小于零则 ŷ =−1。

s = np.dot(X, w)
y_pred = np.ones_like(y)    # 预测输出初始化
loc_n = np.where(s < 0)[0]    # 大于零索引下标
y_pred[loc_n] = -1

接着，从分类错误的样本中选择一个，使用PLA更新权重系数 w。

# 第一个分类错误的点
t = np.where(y != y_pred)[0][0]
# 更新权重w
w += y[t] * X[t, :].reshape((3,1))

更新权重 w 是个迭代过程，只要存在分类错误的样本，就不断进行更新，直至所有的样本都分类正确（注意，前提是正负样本完全可分）。

整个迭代训练过程如下：

for i in range(100):
    s = np.dot(X, w)
    y_pred = np.ones_like(y)
    loc_n = np.where(s < 0)[0]
    y_pred[loc_n] = -1
    num_fault = len(np.where(y != y_pred)[0])
    print('第%2d次更新，分类错误的点个数：%2d' % (i, num_fault))
    if num_fault == 0:
        break
    else:
        t = np.where(y != y_pred)[0][0]
        w += y[t] * X[t, :].reshape((3,1))

迭代完毕后，得到更新后的权重系数 w ，绘制此时的分类直线是什么样子。

# 直线第一个坐标（x1，y1）
x1 = -2
y1 = -1 / w[2] * (w[0] * 1 + w[1] * x1)
# 直线第二个坐标（x2，y2）
x2 = 2
y2 = -1 / w[2] * (w[0] * 1 + w[1] * x2)
# 作图
plt.scatter(X[:50, 1], X[:50, 2], color='blue', marker='o', label='Positive')
plt.scatter(X[50:, 1], X[50:, 2], color='red', marker='x', label='Negative')
plt.plot([x1,x2], [y1,y2],'r')
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.legend(loc = 'upper left')
plt.show()

其实，PLA算法的效率还算不错，只需要数次更新就能找到一条能将所有样本完全分类正确的分类线。所以得出结论，对于正负样本线性可分的情况，PLA能够在有限次迭代后得到正确的分类直线。

总结与疑问

本文导入的数据本身就是线性可分的，可以使用PLA来得到分类直线。但是，如果数据不是线性可分，即找不到一条直线能够将所有的正负样本完全分类正确，这种情况下，似乎PLA会永远更新迭代下去，却找不到正确的分类线。

对于线性不可分的情况，该如何使用PLA算法呢？我们下次将对PLA进行改进和优化。

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